Penyelesaian soal ideal

4. Jawab :

  1. Karena I dan J masing-masing merupakan ideal, maka 0 ϵ I, J dan akibatnya 0 ϵ I ∩ J .

Dengan demikian I J ≠ ø.

Ambil sebarang a,b J , maka a,ϵ I dan a,b ϵ J .Karena I dan J merupakan ideal, maka a ϵ I dan a ϵ J

 Dengan demikian a ϵ I ∩ J .

Ambil sebarang ϵ I∩J, maka aϵ I dan aϵJKarena I dan J ideal,maka untuk sebarang ϵ R , berlaku ar = ra ϵ I dan ar = ra ϵ J.

Dengan demikian ar = ra ϵ I J .

Jadi, terbukti bahwa I J merupakan ideal pada R. 

Perhatikan bahwa I + J = {x + y , x ϵ I, yϵ J}. Karena I dan J masing-masing merupakan ideal, maka 0 ϵ I,J dan akibatnya 0 = 0 + 0 ϵ I + J .

Dengan demikian I + J ≠ ø.

 

Ambil sebarang a,ϵ I + J , maka a = x+ ydan b = x+ y2
untuk suatu 
x1 , xϵ dan y1, yϵ J Karena I dan J merupakan ideal, maka x1 – xϵ Idan yyϵ J .

Dengan demikian a b = (x+ y1) – (x+ y2) = (xx2) + (yy2) ϵ I + J .

Ambil sebarang ϵ I + J , maka a = x+ y1 , untuk suatu x1 ϵ I dan y1 ϵ J

Karena I dan J ideal, maka untuk sebarang ϵ R, berlaku x1 r rxϵ I dan y1 r = ryϵ J.

Dengan
demikian ar = x
1 r + y1 r = rx1 + ry= ra 
ϵ I+J .

Jadi, terbukti bahwa I + J merupakan ideal pada R.

    5. jawab :

Berdasarkan soal, sudah jelas bahwa M Z, M  selain itu juga dapat dicermati bahwa :

Berlaku x, y M berarti x = ma, y = mb untuk suatu a, b Z dan a – b Z, sehingga x – y = ma – mb = m(a – b) M

Berlaku r M, xM rx = r(ma) = m(ra) M karena ra Z.

Kesimpulan : terbukti bahwa M ideal dari Z


Trackbacks / Pingbacks

  1. TUGAS STRUKTUR ALJABAR | puspadevianti - May 27, 2012

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: