TUGAS STRUKTUR ALJABAR

Soal – soal

(HOMOMORFISMA)    


  1. Buktikan bahwa, misal g homomorfisma dari G→G*, maka g(e)=e* dengan e elemen identitas G dan e* elemen identitas G* !
  2. Jelaskan alasan bahwa pemetaan g dari Z ke Q – {0} yang di definisikan g(x) = 2x, untuk setiap x ϵ z adalah sebuah homomorfisma !
  3. (Q,+,*) adalah ring dengan operasi penjumlahan biasa dan perkalian * yang didefinisikan, x, yQ, x*y = xy/2.

    jika didefinisikan pengaitan f dari ring Z ke Q, sebagai berikut : aZ, f(a) = 2a, maka tunjukkan bahwa f adalah suatu homomorfisma.

    penyelesaian

    (IDEAL)


  4. Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan.

    Masing-masing I dan J merupakan ideal pada R, selidiki apakah I ∩J dan I+J juga merupakan ideal pada R !    

  5. Z = himpunan dari bilangan-bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring.

    Jika m suatu bilangan bulat dengan m ≠ 0 , tunjukkan bahwa M = {ma | a bilangan bulat} merupakan ideal dari Z !    

    penyelesaian


    (RING/GELANGGANG)


  6. Tunjukkan bahwa jika A sebuah ring dan terdapat elemen 1A
    ϵ A sebagai elemen satuan, maka elemen tersebut tunggal
  7. Selidiki apakah Himpunan bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan © dan pergandaan ®, yang didefinisikan sebagai berikut :

    a © b = a + b + 2 dan a ® b = a + b + ab merupakan ring !    

  8. Jika Z dan Q berturut-turut ring dari bilangan bulat dan ring dari bilangan rasional terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa,

    serta didefinisikan pemetaan f
    dari ring Z ke Q, sebagai berikut : a
    ϵ Z, f(a) = 2a, maka apakah f adalah suatu homomorfisma ?

    penyelesaian


(LAPANGAN)


  1. Jika r,s adalah elemen dari lapangan F dan dan r ≠ 0, tunjukkan bahwa ada elemen tunggal y ϵ F sedemikian sehingga ry = s . Selanjutnya, y = r -1s !    
  2. P = { genap ,ganjil} adalah suatu ring komutatif, dengan elemen identitas e = ganjil tunjukkan bahwa P adalah lapangan !

    (genap.ganjil = genap )

    (genap.genap = genap )

    (ganjil.genap = ganjil )

    (ganjil.ganjil = ganjil)

    penyelesaian


    (ISOMORFISMA)


  3. Tunjukkan jika h homomorfisma Z ke 2Z , { h(a) = 2a , untuk setiap a ϵ Z} , maka h adalah sebuah isomorfisma !

          penyelesaian

(DAERAH INTEGRAL)

  1. Buktikan jika R adalah ring dengan elemen satuan dan x elemen dalam R yang tak nol, a mempunyai invers, maka a
    bukan pembagi nol !    
  1. Buktikan jika X adalah daerah integral , dimana a,b,c ϵ X , a ≠ 0 dan ab = ac, maka berlaku b = c.        

    penyelesaian


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: